Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

3

2

，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）若直线l不过点M，试问k_MA+k_MB是否为定值？并说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵

c

a

=

3

2

，∴

b

a

=

1

2

，-----------------------------------------------------（2分）
依题意设椭圆方程为：

x2

4b2

+

y2

b2

=1
把点（4，1）代入，得b²=5
∴椭圆方程为

x2

20

+

y2

5

=1---------------------------------------------------（4分）
（Ⅱ）把y=x+m代入椭圆方程得：5x²+8mx+4m²-20=0，
由△＞0可得64m²-20（4m²-20）＞0
∴-5＜m＜5---------------------------------------------------（6分）
（Ⅲ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

8m

5

，x₁x₂=

4m2-20

5

，-----------------------（8分）
∴k_MA+k_MB=

y1-1

x1-4

+

y2-1

x2-4

=

2x1x2-(m-5)(x1+x2)-8(m-1)

(x1-4)(x2-4)

=0，
∴k_MA+k_MB为定值0．------------------（12分）