Question

△ABC的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，且满足csinA+acosC=0
（1）求C的值；
（2）若cosA=，c=5，求sinB和b的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0，两边除以sinA再利用同角三角函数间的基本关系求出tanC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）由A为三角形的内角，及cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，由B=π-A-C，利用诱导公式得到sinB=sin（A+C），利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算求出sinB的值，由sinB，sinC及c的值，利用正弦定理即可求出b的值．
解答：解：（1）将csinA+acosC=0利用正弦定理化简得：2RsinCsinA+2RsinAcosC=0，
即2sinCsinA+2sinAcosC=0，
∵sinA≠0，
∴sinC+cosC=0，即tanC=-，
∵C∈（0，π），
∴C=；
（2）∵cosA=，A∈（0，），
∴sinA==，
则sinB=sin（π-A-C）=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×（-）+×=，
∵sinB=，c=5，sinC=sin=
则由正弦定理=，得：b===3-4．
点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．