Question

9．平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y（米）是随着一天的时间t（0≤t≤24，单位小时）呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如表：

t（时）	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y（米）	1.5	2.4	1.5	0.6	1.4	2.4	1.6	0.6	1.5

（Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）．观察散点图，从①y=Asin（ωt+ϕ），②y=Acos（ωt+ϕ）+b，③y=-Asinωt+b（A＞0，ω＞0，-π＜ϕ＜0）．中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；
（Ⅱ）为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（Ⅰ）中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图，选②y=Acos（ωt+ϕ）+b做为函数模型，由此利用三角函数的图象和性质能求出该拟合模型的函数解析式．
（Ⅱ）由$y=0.9sin（\frac{π}{6}t）+1.5$，令y≥1.05，得$sin（\frac{π}{6}t）≥-\frac{1}{2}$，从而12k-1≤t≤12k+7，由此能求出这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，才能确保集训队员的安全．

解答 （满分12分）
解：（Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图，如图所示：

依题意，选②y=Acos（ωt+ϕ）+b做为函数模型，
∴$A=\frac{2.4-0.6}{2}=0.9b=\frac{2.4+0.6}{2}=1.5$，
∵$T=\frac{2π}{ω}=12∴ω=\frac{π}{6}$∴$y=0.9cos（\frac{π}{6}t+φ）+1.5$-------------------------------------------------------------（5分）
又∵函数y=0.9cos（$\frac{π}{6}t+$φ）+1.5的图象过点（3，2.4），
∴2.4=0.9×cos（$\frac{π}{6}×3$+φ）+1.5，
∴cos（$\frac{π}{2}$+φ）=1，∴sinφ=-1，
又∵-π＜φ＜0，∴φ=-$\frac{π}{2}$，
∴$y=0.9cos（\frac{π}{6}t-\frac{π}{2}）+1.5=0.9sin（\frac{π}{6}t）+1.5$------------------------------------（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：$y=0.9sin（\frac{π}{6}t）+1.5$
令y≥1.05，即$0.9sin（\frac{π}{6}t）+1.5≥1.05$∴$sin（\frac{π}{6}t）≥-\frac{1}{2}$--------------------------------------------------------------------------------（9分）
∴$2kπ-\frac{π}{6}≤\frac{π}{6}t≤2kπ+\frac{7π}{6}（k∈Z）$，
∴12k-1≤t≤12k+7
又∵5≤t≤18∵5≤t≤7或11≤t≤18-----------------------------------------------------------------------（11分）
∴这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，
才能确保集训队员的安全．-----------------------------------------------------------------（12分）

点评 本题考查函数解析式的求法，考查确保集训队员的安全的训练时间的确定，考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查化归与转化思想，数形结合思想，是中档题．