题目内容

18．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下五组对应数据：
x（万元）24568
y（万元）2836525678
（1）求y关于x的线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$
（2）根据（1）中的线性回归方程，回答下列问题：
（i）当广告费支出为10万元时，预测销售额是多少？
（ii）从已知的五组数据中任意抽取两组数据，求这两组数据中至少有一组数据其销售额的实际值y与预测值$\stackrel{∧}{y}$之差的绝对值不超过3万元的概率
参考数据：$\sum_{i=1}^{5}$xi2=145，$\sum_{i=1}^{5}$yi2=14004，$\sum_{i=1}^{5}$xiyi=1420
附：回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\stackrel{∧}{y}$-$\stackrel{∧}{b}$x．

分析 （1）根据表中数据计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出系数$\stackrel{∧}{b}$、$\stackrel{∧}{a}$，写出线性回归方程；
（2）根据（1）中的线性回归方程，（i）计算x=10时，$\stackrel{∧}{y}$的值即可；
（ii）根据题意计算这五组数据中有2组数据|y-$\stackrel{∧}{y}$|超过3万元，3组不超过3万元；
利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．

解答 解：（1）根据表中数据，计算$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（2+4+5+6+8）=5，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（28+36+52+56+78）=50，
$\sum_{i=1}^{5}$${{x}_{i}}^{2}$=145$\sum_{i=1}^{5}$xiyi=1420，
∴$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{{{\sum_{i=1}^{5}x}_{i}y}_{i}-5\overline{x}\overline{y}}{{{\sum_{i=1}^{5}x}_{i}}^{2}-{5\overline{x}}^{2}}$=$\frac{1420-5×5×50}{145-5{×5}^{2}}$=8.5，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$=50-8.5×5=7.5，
∴y关于x的线性回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=8.5x+7.5；
（2）根据（1）中的线性回归方程知，
（i）计算x=10时，$\stackrel{∧}{y}$=8.5×10+7.5=92.5，
∴当广告费支出为10万元时，预测销售额是92.5万元；
（ii）根据题意，列表如下；

x24568
y2836525678
$\stackrel{∧}{y}$24.541.55058.575.5
|y-$\stackrel{∧}{y}$|3.55.522.52.5
这五组数据中有两组数据|y-$\stackrel{∧}{y}$|超过3万元，记为A、B，三组不超过3万元，记为c、d、e；
则从中抽取两组，基本事件数为
AB、Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be、cd、ce、de共10种不同取法，
这两组数据中至少有一组数据不超过3万元的基本事件数是
Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be、cd、ce、de共9种不同取法，
故所求的概率为P=$\frac{9}{10}$．

点评 不同考查了线性回归方程的计算问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是中档题．

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t（时）03691215182124
y（米）1.52.41.50.61.42.41.60.61.5
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x24568
y3040m5070
根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出$\stackrel{∧}{y}$与x的线性回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=6.5x+15.5，则表中m的值为（　　）
A．45B．50C．55D．60
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A．$\frac{1}{16}$B．$\frac{1}{4}$C．$\frac{1}{3}$D．$\frac{1}{2}$
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