Question

如图，在四边形ABCD中，

BC

=λ

AD

（λ∈R），|

AB

|=|

AD

|=2，|

CB

-

CD

|=2

3

，且△BCD是以BC为斜边的直角三角形，则

CB

•

BA

的值为

-4

．

Answer 1

分析：由向量共线的定义，可得BC∥AD．在△ABD中根据三边的长，利用余弦定理算出cos∠ADB=

3

2

，从而可得∠ADB=

π

6

，得到∠DBC=

π

6

，然后在Rt△BCD中利用三角函数定义算出BC=4．最后利用前面算出的数据，根据数量积的定义算出

BA

•

BC

=4，从而得到

CB

•

BA

的值．

解答：解：∵

BC

=λ

AD

，∴BC∥AD，可得四边形ABCD为梯形．
∵△ABD中，|

AB

|=|

AD

|=2，∴∠ADB=∠ABD．
∵|

BD

|=|

CB

-

CD

|=2

3

，
∴△ABD中根据余弦定理，得cos∠ADB=

4+12-4

2×2×2 3

=

3

2

，
结合∠ADB∈（0，π），可得∠ADB=

π

6

，从而∠DBC=∠ADB=

π

6

，
∵△BCD是以BC为斜边的直角三角形，∴BC=

BD

cos π 6

=

2 3

3 2

=4，
∵∠ABC=∠ABD+∠DBC=

π

3

，

|BA|

=2，

|BC|

=4，
∴

BA

•

BC

=

|BA|

•

|BC|

•cos∠ABC=4，由此可得

CB

•

BA

=-

BA

•

BC

=-4．
故答案为：-4

点评：本题在特殊梯形ABCD中，求向量数量积的大小．着重考查了向量共线定理、解三角形、向量数量积的公式及其运算性质等知识，属于中档题．