Question

【题目】已知函数存在唯一的极值点．

（1）求实数的取值范围；

（2）若，证明：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

（1）求导得到，设，讨论，，，四种情况，根据零点存在定理计算得到答案.

（2）根据题意得到，，根据得到，化简得到答案.

（1）函数的定义域为，，令，

①若，则，在上单调递增，不合题意；

②若，，令，得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

，

（ⅰ）若，即时，，，

在上单调递增，不合题意；

（ⅱ）若，即时，，，

因为，则，

所以在上有两个变号零点，所以有两个极值点，不合题意；

③若，，则在上单调递减；

且，，存在唯一，使，

当时，，，当时，，，

所以是的唯一极值点，符合题意；

综上，的取值范围是．

（2）由（1）可知，，

因为，，所以，，，

由（1）可知函数在上单调递减，

所以，，

即，，

现证明不等式：，其中

要证，即证，即证，

即证，易知成立.

所以，即，

即，所以，证毕．