Question

15．已知|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=2．
（1）若|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{2}$，求证：$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$；
（2）若（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=-2，求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角．

Answer 1

分析 （1）由向量的平方即为模的平方，以及向量垂直的条件：数量积为0，即可得证；
（2）运用向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到．

解答 解：（1）证明：|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{2}$，即（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）²=8，即$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}$²=8，
即有4-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+4=8，
则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
即有$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$；
（2）若（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=-2，
则$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{b}$²=-2，
即有4+2×2cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞-2×4=-2，
即cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{1}{2}$，
由0≤＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞≤π，
可得$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查向量垂直的条件：数量积为0，属于中档题．