Question

设a，b，c∈R，求证：a⁴＋b⁴＋c⁴≥a²b²＋b²c²＋c²a²≥abc(a＋b＋c)．

Answer 1

答案：
解析：

证明：∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2c2a2， 　　∴2b(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)， 　　即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2． 　　又a2b2＋b2c2≥2ab2c， 　　b2c2＋c2a2≥2abc2，c2a2＋a2b2≥2a2bc， 　　∴a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)． 　　∴a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)． 　　分析：双联不等式的证明需证明两个不等关系，可以从左至右依次证明．此不等式从左至右的次数依次降低，而且字母之间的关系是由和变化到积，因此很容易想到利用重要不等式．对于有三项或三项以上的式子，可考虑两两组合成局部组合的方式运用重要不等式，再结合不等式的性质求证．