Question

2．如图，四面体D-ABC的体积为$\frac{1}{4}$，且满足∠ACB=60°，BC=1，AD+$\frac{AC}{\sqrt{3}}$=2，则四面体D-ABC中最长棱的长度为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． 3

Answer 1

分析 由锥体的体积公式可得AD•$\frac{AC}{\sqrt{3}}$≥1，再由基本不等式可得AD=$\frac{AC}{\sqrt{3}}$=1时，等号成立，可得AD⊥面ABC，求得最长的棱为2．

解答 解：因为$\frac{1}{3}$AD•（$\frac{1}{2}$BC•AC•sin60°）≥V_D-ABC=$\frac{1}{4}$，BC=1，
即AD•$\frac{AC}{\sqrt{3}}$≥1，
因为2=AD+$\frac{AC}{\sqrt{3}}$≥2$\sqrt{AD•\frac{AC}{\sqrt{3}}}$=2，
当且仅当AD=$\frac{AC}{\sqrt{3}}$=1时，等号成立，
这时AC=$\sqrt{3}$，AD=1，且AD⊥面ABC，所以CD=2，AB=$\sqrt{4-\sqrt{3}}$，
得BD=$\sqrt{5-\sqrt{3}}$，故最长棱的长为2．
故选B．

点评 本题考查四面体中最长的棱长，考查棱锥的体积公式的运用，同时考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，属于中档题．