Question

用数学归纳法证明：

1²-2²+3²-4²+…+（2n-1）²-（2n）²=-n（2n+1）.

Answer 1

证明：（1）当n=1时，左边=1²-2²=-3，右边=-1·（2×1+1）=-3，等式成立.

（2）假设当n=k时，等式成立，即：1²-2²+3²-4²+…+（2k-1）²-（2k）²=-k（2k+1）则当n=k+1时，

1²-2²+3²-4²+…+（2k-1）²-（2k）²+（2k+1）²-［2（k+1）］²

=-k（2k+1）+（2k+1）²-［2（k+1）］²=-2k²-5k-3=-（k+1）（2k+3）

=-（k+1）［2（k+1）+1］，即当n=k+1时，等式也成立.

由（1）（2）可知，对任何n∈N^*，等式成立.