题目内容

已知函数f(x)=
1
3
ax3-
1
2
x2-2ax+b(a，b∈R)
（1）试求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在x=2处有极值，且f（x）图象与直线y=4x有三个公共点，求b的取值范围．
（1）f'（x）=ax2-x-2a
当a=0时，f'（x）=-x＞0?x＜0
当a≠0时，△=1+8a2＞0，方程f'（x）=0有不相等的两根为x1，x2=
1±
1+8a2
2a

1°当a＞0时，f′(x)＞0?x＜
1-
1+8a2
2a
或x＞
1+
1+8a2
2a

2°当a＜0时，f′(x)＞0?
1+
1+8a2
2a
＜x＜
1-
1+8a2
2a

综上：当a=0时，f（x）在（-∞，0）上递增
当a＞0时，f（x）在(-∞，
1-
1+8a2
2a
)，(
1+
1+8a2
2a
，+∞)上递增
当a＜0时，f（x）在(
1+
1+8a2
2a
，
1-
1+8a2
2a
)上递增
（2）∵f（x）在x=2处有极值，∴f'（2）=0，∴a=1
令g(x)=f(x)-4x=
1
3
x3-
1
2
x2-6x+b
∴g'（x）=x2-x-6=0?x=-2或3g'（x）＞0?x＜-2或x＞3g'（x）＜0?-2＜x＜3
∴g（x）在x=-2处有极大值，在x=3处有极小值
要使f（x）图象与y=4x有三个公共点
则
g(-2)＞0
g(3)＜0
?-
22
3
＜b＜
27
2
，即b的取值范围为(-
22
3
，
27
2
)
练习册系列答案
相关题目
（1）、已知函数f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函数f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的图象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一个函数g（x）的图象，求g（x）的解析式．
已知函数f(x)=(1-
a
x
)ex，若同时满足条件：
①?x0∈（0，+∞），x0为f（x）的一个极大值点；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
则实数a的取值范围是（　　）
已知函数f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函数在区间(a，a+
1
2
)上存在极值，求实数a的取值范围；
（2）当x≥1时，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求实数k的取值范围．
已知函数f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)与f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．
定义在D上的函数f（x）如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，1]上是以3为上界的有界函数，求m的取值范围．

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