Question

【题目】已知函数，为自然对数的底数.

(Ⅰ)讨论的单调性；

(Ⅱ)若函数的图象与直线交于两点，线段中点的横坐标为，证明：(为函数的导函数)

Answer 1

【答案】(Ⅰ)详见解析; (Ⅱ)详见解析

【解析】

试题解析：(Ⅰ)由题可知，然后再，分，，三种情况，进行讨论，由此即可求出结果.(Ⅱ)化简可得，可得，当时，，在上单调递增，与轴不可能有两个交点，故.当时，令，则；令，则.故在上单调递增，在上单调递减.不妨设，且，要证，需证，即证，又，所以只需证.即证：当时， .然后再构造辅助函数，再利用导数，即可证明结果.

试题解析：解：(1)由题可知，

①当时，令，则∴

令，则∴

②当时，

③当时，令，则∴

令，则∴

综上：①当时，在上单调递减，在上单调递增.当②

时，在上单调递增.

③当时，在上单调递增，在上单调递减.

(2)∵

∴，当时，，在

上单调递增，与轴不可能有两个交点，故.

当时，令，则；令，则.故在上

单调递增，在上单调递减.不妨设，且，要证

，

需证，即证，

又，所以只需证.即证：当时，

.

设

则，∴在上

单调递减，又，故.