题目内容
选修4-5：不等式选讲
已知a＞0，b＞0，n∈N*．求证：
．
证明：先证 
，
只要证 2（an+1+bn+1）≥（a+b）（an+bn），
即要证 an+1+bn+1-anb-abn≥0，
即要证 （a-b）（an-bn）≥0，…（5分）
若 a≥b，则a-b≥0，an-bn≥0，所以，（a-b）（an-bn）≥0．
若a＜b，则a-b＜0，an-bn＜0，所以（a-b）（an-bn）＞0，
综上，可得 （a-b）（an-bn）≥0，从而．…（8分）
因为
，所以 ． …（10分）
分析：先用分析法证明，再利用基本不等式，即可证得成立．
点评：本题主要考查用分析法证明不等式，基本不等式的应用，属于中档题．
，只要证 2（an+1+bn+1）≥（a+b）（an+bn），
即要证 an+1+bn+1-anb-abn≥0，
即要证 （a-b）（an-bn）≥0，…（5分）
若 a≥b，则a-b≥0，an-bn≥0，所以，（a-b）（an-bn）≥0．
若a＜b，则a-b＜0，an-bn＜0，所以（a-b）（an-bn）＞0，
综上，可得 （a-b）（an-bn）≥0，从而
．…（8分）因为
，所以 ． …（10分）分析：先用分析法证明
，再利用基本不等式，即可证得成立．点评：本题主要考查用分析法证明不等式，基本不等式的应用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目