Question

已知数列{a_n}中，，且，
（Ⅰ）求证：k=1；
（Ⅱ）设，f（x）是数列{g（x）}的前n项和，求f（x）的解析式；
（Ⅲ）求证：不等式对n∈N₊恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用中n=2，及a₁=1，得到a₃a₁=a₂a₁，即；再利用，得到，即可证明．
（II）利用“累成求积”即可得到g（x），再利用“错位相减法”及等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出f（x）；
（III）利用（2）中f（x）的表达式，取x=2，则=（n-1）•2ⁿ+1，又，利用数学归纳法证明：不等式对n∈N₊恒成立．
解答：（I）证明：∵，
∴，
又∵
则a₃a₁=a₂a₁，即，又，∴a₂=2k．
∴k+1=2k，解得k=1．
（2）∵，∴=n•（n-1）…2•1=n!
∵=nx^n-1
∴当x=1时，，
当x≠1时，f（x）=1+2x+3x²+…+nx^n-1．
得xf（x）=x+2x²+3x³+…+（n-1）x^n-1+nxⁿ
两式相减得（1-x）f（x）=1+x+x²+…+x^n-1-nxⁿ=
∴f（x）=
综上所述：．
（3）利用（2）中f（x）的表达式，取x=2，
则=（n-1）•2ⁿ+1，
又，下面利用数学归纳法证明：不等式对n∈N₊恒成立．
易验证当n=1，2，3时不等式恒成立； 
假设n=k（k≥3），不等式成立，即3^k＞（k-1）2^k+1
两边乘以3得：3^k+1＞3（k-1）2^k+3=k•2^k+1+1+3（k-1）2^k-k2^k+1+2
又因为3（k-1）2^k-k•2^k+1+2=2^k（3k-3-2k）+2=（k-3）2^k+2＞0
所以3^k+1＞k•2^k+1+1+3（k-1）2^k-k2^k+1+2＞k•2^k+1+1
即n=k+1时不等式成立．
故不等式恒成立．
点评：本题综合考查了等差数列与等比数列的前n项和公式、“累成求积”、“错位相减法”，及其数学归纳法，需要较强的推理能力和计算能力．