题目内容
设数列{an}的各项都是正数，记Sn为数列{an}的前n项和，且对任意n∈N+，都有
.(Ⅰ)求证：
=2Sn-an；
(Ⅱ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅲ)若bn=3n+(-1)n-1λ·
(λ为非零常数，n∈N+)，问是否存在整数λ，使得对任意n∈N+，都有bn+1＞bn.
(Ⅰ)证明：在已知式中，当n=1时，
∵a1＞0 ∴a1=1
当n≥2时，①
②
①-②得，
=an(2a1+2a2+…+2an-1+an)
∵an＞0 ∴
=2a1+2a2+…+2an-1+an，
即
=2Sn-an ∵a1=1适合上式
∴
(n∈N+)
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知
=2Sn-an(n∈N+)③
当n≥2时，
=2Sn-1-an-1④
③-④得
=2(Sn-Sn-1)-an+an-1
=2an-an+an-1=an+an-1
∵an+an-1＞0 ∴an-an-1=1
∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1，可得an=n
(Ⅲ)解：∵an=n
∴bn=3n+(-1)n-1λ·
=3n+(-1)n-1λ·2n
欲使
bn+1-bn=[3n+1+(-1)nλ·2n+1]-[3n+(-1)n-1λ·2n]
=2·3n-3λ(-1)n-1·2n＞0
即(-1)n-1·λ＜(
)n-1成立 ⑤
当n=2k-1，k=1，2，3，…时，⑤式即为
λ＜(
)2k-2⑥
依题意，⑥式对k=1，2，3…都成立，∴λ＜1
当n=2k，k=1，2，3，…时，⑤式即为λ＞-(
)2k-1⑦
依题意，⑦式对k=1，2，3，…都成立，
∴λ＞
∴
＜λ＜1，又λ≠0
∴存在整数λ=-1，使得对任意n∈N+，都有bn+1＞bn
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