Question

若函数f（x）=x²+ax+2b在区间（0，1）（1，2）内各有一个零点，则a²+（b-2）²范围（　　）

• A．(

  5

   ， 

  10

  )
• B．（5，10）
• C．（0，5）
• D．（0，10）

Answer 1

分析：利用二次函数根的分布，确定不等关系，然后利用a²+（b-2）²的几何意义求取值范围即可．

解答：解：∵函数f（x）=x²+ax+2b在区间（0，1）（1，2）内各有一个零点，
∴

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

，即

f(0)=2b＞0 f(1)=1+a+2b＜0 f(2)=4+2a+2b＞0

，
作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），
设P（0，2），则a²+（b-2）²的几何意义表示为阴影部分内的动点到定点P距离的平方．
由图象可知当AP的距离最大，CP的距离最小．
由

1+a+2b=0 4+2a+2b=0

，解得

a=-3 b=1

，即A（-3，1），此时|AP|=

(-3)2+(1-2)2

=

10

，
|CP|=

(-1)2+(0-2)2

=

5

，
∴|AP|²=10，|CP|²=5，
即5＜a²+（b-2）²＜10，
故选B．

点评：本题主要考查二次函数根的分布，以及线性规划的基本应用，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强．