Question

设函数f（x）=

ax-1

x+1

（a∈R）．
（1）当a=1时，求满足f（x）＞2的x的集合
（2）求a的取值范围，使f（x）在区间（0，+∞）上是单调递增函数．

Answer 1

分析：（1）将f（x）＞2化为f（x）-2＞0，通分后化为整式不等式去解．
（2）利用单调函数的定义，设0＜x₁＜x₂，a的取值使得f（x₂ ）-f（x₁ ）＞0恒成立即可．

解答：解：（1）当a=1时，即为

x-1

x+1

＞2?

x+3

x+1

＜0?-3＜x＜-1∴满足f（x）＞2的x的集合为（-3，-1）
（2）设0＜x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=

ax1-1

x1+1

-

ax2-1

x2+1

=

(a+1)(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

∵(x1+1)(x2+1)＞0，x1-x2＜0

，
∴使f（x）在区间（0，+∞）上是单调递增函数，a＞1．

点评：本题考查分式不等式解法、函数单调性的定义及应用，参数的取值范围问题，考查转化、计算、逻辑思维能力．