Question

已知函数f(x)=

1

2

cos2x-

1

2

sin2x-sinxcosx+

2

2

，则（　　）

• A、y=f（x）在x=

  3π

  8

  时取得最小值

  2

  ，其图象关于点(

  3π

  8

  ，0)对称
• B、y=f（x）在x=

  3π

  8

  时取得最小值0，其图象关于点(

  5π

  8

  ，0)对称
• C、y=f（x）在(

  3π

  8

  ，

  7π

  8

  )单调递减，其图象关于直线x=-

  π

  8

  对称
• D、y=f（x）在(

  3π

  8

  ，

  7π

  8

  )单调递增，其图象关于直线x=-

  π

  8

  对称

Answer 1

分析：通过二倍角的余弦函数、正弦函数、两角和与差的三角函数化简函数的表达式，然后求出函数的最大值，判断对称性，利用特殊值判断单调性即可．

解答：解：函数f(x)=

1

2

cos2x-

1

2

sin2x-sinxcosx+

2

2

=

1

2

cos2x-

1

2

sin2x+

2

2

=-

2

sin(2x-

π

4

)+

2

2

．
∴函数的最大值为：

3 2

2

，最小值为：-

2

2

．
故选项A、B不正确．
由选项C、D可知图象关于直线x=-

π

8

对称．
当x=

3π

8

时，函数取得最小值，当x=

7π

8

时，函数取得最大值．
∴y=f（x）在(

3π

8

，

7π

8

)单调递增．
故选D．

点评：本题考查三角函数的化简，三角函数的性质的综合应用，考查计算能力以及转化思想．