Question

7．已知定义在R上的函数f（x）满足对于定义域内任意的实数x，y都有f（x+y）=$\frac{f（x）+f（y）}{1+f（x）f（y）}$，且当x＞0时，-1＜f（x）＜0．
（1）判断f（x）的奇偶性并证明．
（2）判断并证明函数f（x）的单调性．
（3）解关于x的不等式f（ax²+2）＜f（ax+2x）．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法，结合奇函数的定义，即可证明；
（2）利用函数的单调性的定义即可得出结论；
（3）分类讨论，即可解关于x的不等式f（ax²+2）＜f（ax+2x）．

解答 解：（1）令x=y=0，则f（0）=$\frac{2f（0）}{1+{f}^{2}（0）}$，∵当x＞0时，-1＜f（x）＜0，∴f（0）=0，
令y=-x，则f（0）=$\frac{f（x）+f（-x）}{1+f（x）f（-x）}$=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数；
（2）设x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0，
∵当x＞0时，-1＜f（x）＜0
∴-1＜f（x₁-x₂）＜0，当x＜0时，0＜f（x）＜1
∵f（x₁-x₂）=$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{1-f（{x}_{1}）f（{x}_{2}）}$，
∴-1＜$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{1-f（{x}_{1}）f（{x}_{2}）}$＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）单调递减．
（3）∵f（ax²+2）＜f（ax+2x），
∴ax²+2＞ax+2x，
∴ax²-（a+2）x+2＞0，
∴（x-1）（ax-2）＞0．
a＜0，$\frac{2}{a}$＜x＜1，∴解集为{x|$\frac{2}{a}$＜x＜1}；
a=0时，x-1＞0，∴x＞1，∴解集为{x|x＞1}；
0＜a＜2，x＜1或x＞$\frac{2}{a}$，∴解集为{x|x＜1或x＞$\frac{2}{a}$}；
a=2，解集为{x|x≠1}；
a＞2，x＜$\frac{2}{a}$或x＞1，∴解集为{x|x＜$\frac{2}{a}$或x＞1}．

点评 本题考查函数的单调性、奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，正确运用函数的单调性、奇偶性的定义是关键．