Question

【题目】已知函数，.

（1）求函数在上的最小值；

（2）对一切，恒成立，求实数的取值范围；

（3）探讨函数是否存在零点？若存在，求出函数的零点；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3) 函数无零点.

【解析】

试题分析：(1)求函数的层数可得，并由导数的符号判断函数的单调性可得函数在区间上的最小值为，分别讨论当与时函数在区间上的单调性与最小值即可；（2）对一切，恒成立，构造函数，求函数的最小值即可；(3)

，由（Ⅰ）知当且仅当时，的最小值是，构造函数，求其导数，研究函数的单调性与最值可知，且两个函数取得最大值点与最小值点时不相等，所以有，即两个函数无公共点，即函数无零点.

试题解析： （Ⅰ），

由得，，由得，

函数在上单调递减，在上单调递增.………………（1分）

当时，；

当时，在上单调递增，，………………（2分）

………………（3分）

（Ⅱ）原问题可化为，………………（4分）

设，

，当时，在上单调递减；…………（5分）

当时，在上单调递增；………………（6分）

，故的取值范围为.………………（7分）

（Ⅲ）令，得，即，………………（8分）

当（Ⅰ）知当且仅当时，的最小值是，…………（9分）

设，则，易知在上单调递增，在上单调递减，

当且仅当时，取最大值，且，………………（10分）

对都有，即恒成立，

故函数无零点.……………………（12分）