Question

【题目】已知椭圆的方程为，两焦点，点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点、是直线上的两点，且.求四边形面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）本问考查椭圆标准方程的求法，可以采用待定系数法，即根据已知条件列方程组，解方程组，就可以求出椭圆的方程，另外本题也可以利用椭圆定义求标准方程，即，根据两点间距离公式，可以求出的值，这样也可以得到椭圆标准方程；（2）本问考查直线与椭圆的综合问题，由于直线与椭圆相切，因此通过联立方程，消元，所得一元二次方程满足判别式，可以得到之间的关系式，转化为关于一个变量的问题，接下来分别求出两焦点到直线的距离，根据四边形的面积为，于是问题转化为求的值，由图形，过点向作垂线，垂足为，则，而，于是可以将四边形的面积表示为关于的表达式，进而可以求出最大值.

试题解析：（1）依题意，点在椭圆．

∵，

又∵，∴．

∴椭圆的方程为.

（2）将直线的方程代入椭圆的方程中，得

.

由直线与椭圆仅有一个公共点知， ,

化简得： .

设，

∵，

.

∴，

四边形的面积，

.

当且仅当时， ，故.

所以四边形的面积的最大值为.