题目内容

在△ABC中，a，b，c为角A、B、C所对的边，2sin2CcosC-sin3C=
3
（1-cosC）
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，且sinC+sin（B-A）=2sin2A且A≠
π
2
，求△ABC的面积．
考点：余弦定理,三角函数中的恒等变换应用
专题：解三角形
分析：（1）利用两角和与差的正弦公式化简：2sin2CcosC-sin3C=
3
（1-cosC），再由三角形的内角范围和特殊角的正弦值，可求角C的大小；
（2）利用两角和与差的正弦公式化简：sinC+sin（B-A）=2sin2A，后根据条件和正弦定理求出三角形的边关系，由余弦定理求出边长，然后求△ABC的面积．
解答： 解：（1）由题知，2sin2CcosC-sin3C=
3
（1-cosC）
2sin2CcosC-（sin2CcosC+cos2CsinC）=
3
（1-cosC）
sin2CcosC-cos2CsinC=
3
(1-cosC)，
化简得，sinC=
3
-
3
cosC
即sinC+
3
cosC=
3
，2sin(C+
π
3
)=
3
，
所以sin(C+
π
3
)=
3
2
，
因为C是三角形的内角，
所以C+
π
3
=
2π
3
，故C=
π
3
；
（2）由sin（B+A）+sin（B-A）=2sin2A得，
sinBcosA+cosAsinB+sinBcosA-cosBsinA=2sin2A
sinBcosA=2sinAcosA
所以cosA=0或sinB=2sinA，
因为A≠
π
2
，
所以当sinB=2sinA时，由正弦定理得b=2a，
所以cosC=
a2+4a2-4
4a2
=
1
2
，得a2=
4
3
，
所以S△ABC=
1
2
•b•a•sinC=
3
2
a2=
2
3
3
．
点评：本题考查两角和与差的正弦公式，正弦定理的应用、余弦定理的应用，解三角形的知识，以及计算化简能力．
练习册系列答案
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若函数f（x）=kax-a-x（a＞0且a≠1）在（-∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=loga（x+k）的图象是（　　）
A、
B、
C、
D、
若2a=3b=6c=t（t＞1），则a，b，c之间一定满足的关系是（　　）
A、3a+2b=c2
B、a×b=c
C、
1
a
+
1
b
=
1
c
D、a3+b2=c
椭圆
x2
9
+
y2
25
=1上一动点P到两焦点距离之和为（　　）
A、10B、8C、6D、不确定
函数f（x）=
1
3
x3-4x+4．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）设函数g（x）=x2-2x+m，对?x1，x2∈[0，3]，都有f（x1）≥g（x2），求实数m的取值范围．
已知函数f（x）=ax3+bx+12在点（1，f（1））处的切线方程为9x+y-10=0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）设函数f（x）在[0，m]（m＞0）上的最大值为g（m），求函数g（m）的最小值．
已知g（θ）=
cos(-θ-
π
2
)•sin(
7π
2
+θ)
sin(2π-θ)
．
（1）化简g（θ）；
（2）若g（
π
3
+θ）=
1
3
，θ∈（
π
6
，
7π
6
），求g（
5π
6
+θ）的值；
（3）若g（
3
2
π-θ）-g（θ）=
1
3
，θ∈（-
π
2
，
π
2
），求g（θ）-g（
π
2
-θ）的值．
（1）已知函数f（x）=2x-x2，问方程f（x）=0在区间[-1，0]内是否有解，为什么？
（2）若方程ax2-x-1=0在（0，1）内恰有一解，求实数a的取值范围．
已知函数g（x）=ax2-2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，
（1）求a、b的值；
（2）设函数f（x）=
g(x)
x
，试判断f（x）在区间[2，3]上的单调性并证明．

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