题目内容
已知数列{an}中，a1=3，an+1=2an-1（n≥1）．（Ⅰ）设bn=an-1（n=1，2，3，…），求证：数列{bn}是等比数列；
（Ⅱ）设cn=
，求证：数列{cn}的前n项和Sn＜
．
【答案】分析：（Ⅰ）由题意，an+1=2an-1，两边同减1，即可证得数列{bn}为首项是2，公比为2的等比数列；
（Ⅱ）求出bn=2n，可得an=2n+1，对cn=
裂项，从而可求Tn的值，即可证得结论．
解答：证明：（Ⅰ）∵an+1=2an-1，∴an+1-1=2（an-1）
∵bn=an-1，∴bn+1=2bn，
∵a1=3，∴b1=a1-1=2≠0，∴数列{bn}是等比数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）bn=2n，∴an=2n+1
∴cn=
=
-
∴Tn=（
-
）+（
-
）+…+（
-
）=
-
＜
点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查裂项法求数列的和，确定数列的通项是关键．
（Ⅱ）求出bn=2n，可得an=2n+1，对cn=
裂项，从而可求Tn的值，即可证得结论．解答：证明：（Ⅰ）∵an+1=2an-1，∴an+1-1=2（an-1）
∵bn=an-1，∴bn+1=2bn，
∵a1=3，∴b1=a1-1=2≠0，∴数列{bn}是等比数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）bn=2n，∴an=2n+1
∴cn=
=
-
∴Tn=（
-
）+（
-
）+…+（
-
）=
-
＜
点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查裂项法求数列的和，确定数列的通项是关键．
练习册系列答案
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已知数列{an}中，a1=1，2nan+1=（n+1）an，则数列{an}的通项公式为（ ）
A、
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B、
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C、
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D、
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