Question

8．同时满足性质：“①对任意的x∈R，f（x+$\frac{π}{2}$）=-f（x）恒成立；②对任意的x∈R，f（$\frac{π}{3}$+x）=f（$\frac{π}{3}$-x）恒成立；③在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上是增函数．”的函数可以是（　　）

• A． f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）
• B． f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）
• C． f（x）=cos（2x+$\frac{π}{6}$）
• D． f（x）=cos（2x-$\frac{π}{6}$）

Answer 1

分析 根据②可得当x=$\frac{π}{3}$时，函数f（x）取得最值，故排除A，C，D；再根据B中的函数也满足③，从而得出结论

解答 解：根据①对任意的x∈R，f（x+$\frac{π}{2}$）=-f（x）恒成立，可得f（x+π）=f（x），函数的周期为π．
根据②对任意的x∈R，f（$\frac{π}{3}$+x）=f（$\frac{π}{3}$-x）恒成立，可得函数的图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称，
即当x=$\frac{π}{3}$时，函数f（x）取得最值，故排除A，C，D．
再根据B中的函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）满足③：在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上是增函数，
故选：B．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性、单调性、以及图象的对称性，属于基础题．