Question

已知两条直线相交,过其中任意一条直线上的一点作另一条直线的平行线,这些线是否都共面？为什么？

已知:a∩b=O,A∈b,A∈c,a∥c.

求证:a、b、c三点共面.

Answer 1

思路分析:证明多线共面,一般先选取两条直线构造一个平面,然后证明其他直线都在这个平面上.应用公理１及其推论,可以判定直线是不是在一个平面内.多线共面亦照此方法.

图2-1-2

证法一:在直线c上取点B异于A,则A、B、O不共线.

∴A、B、O确定一平面,记为α.

∵A∈α,B∈α,O∈α,∴bα,cα.

∵a∥c,∴a与c确定一平面,记为β.

则O∈β,A∈β,B∈β.

∵过O、A、B三点只存在一个平面,

∴平面β即平面α.

∴aα.

∴a、b、cα,即三线共面.

证法二:∵a∥c,∴直线a、c确定平面β.

∴A∈β,O∈β.

∴bβ.

∴a、b、c三线共面.

  绿色通道:证明点或线共面问题是平面基本性质的具体应用,其基本思路是先利用公理2及其推论确定一个平面,再证明其他点、线也在这个平面内.