Question

设函数f（x）=ax²+bx+clnx，（其中a，b，c为实常数且a＞0），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=3x-3．
（Ⅰ） 若函数f（x）无极值点且f'（x）存在零点，求a，b，c的值；
（Ⅱ） 若函数f（x）有两个极值点，证明f（x）的极小值小于．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=3x-3，建立方程组，根据即f（x）无极值点且f'（x）存在零点，可求a的值，进而可求b，c的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，要使函数f（x）有两个极值点，只要方程2ax²-ax+3-a=0有两个不等正根，可得a的范围，设两正根为x₁，x₂，且x₁＜x₂，可知当x=x₂时，有极小值f（x₂），证明f（x₂）在上单调递增，即可证得结论．
解答：（Ⅰ）解：求导函数可得，
由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=3x-3，可得得，
即，∴．
此时f（x）=ax²-ax+（3-a）lnx，；
由f（x）无极值点且f'（x）存在零点，得a²-8a（3-a）=0（a＞0）
解得，于是，．…（7分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，要使函数f（x）有两个极值点，只要方程2ax²-ax+3-a=0有两个不等正根，
那么实数a应满足 ，解得，
设两正根为x₁，x₂，且x₁＜x₂，可知当x=x₂时，有极小值f（x₂）．
其中这里，由于对称轴为，所以，且，得
记g（x）=x²-x-lnx，，有对恒成立，
又g（1）=0，故对恒有g（x）＞g（1），即g（x）＞0．
所以有=
而对于恒成立，
即f（x₂）在上单调递增，故．…（15分）
点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．