Question

设函数，a∈R．
（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）当a≠-1时，求函数f（x）的极小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求当a=-2时函数的导数，令导数小于0，解得x的范围即为函数的减区间．
（2）先求函数的导数，为令导数等于0，求出函数的极值点，极值点把函数的定义域分成几个区间，按a与0，-1的大小比较分情况讨论函数在各区间上的单调性，当在极值点左侧导数小于0，右侧导数大于0，此极值点处取得极小值，再代入原函数即可．
解答：解：（1）当a=-2时，f（x）=
∴f'（x）=-2x²+3x-1=-（2x-1）（x-1），
令f'（x）＜0，解得x＞1或
∴f（x）的单调递减区间是（1，+∞），．
（2）f'（x）=f（x）=ax²+（1-a）x-1=（ax+1）（x-1）
当a=0时，f'（x）=x-1，当x＜1时，f'（x）＜0．当x＞1时，f'（x）＞0，当x=1时，f'（x）=0
∴f（x）在（-∞，1）内单调递减，（1，+∞）单调递增，f（x）的极小值=
当a≠0时，令f'（x）=0，解得
当a＞0时，-＜1，列表如下：

x				1	（1，+∞）
f′（x）	-		-		+
f（x）	递增		递减		递增

f（x）的极小值=
当-1＜a＜0时，1＜-，列表如下：

x	（-∞，1）	1
f′（x）	-		+		-
f（x）	递减		递增		递减

f（x）的极小值=
当a＜-1时，列表如下：

x				1	（1，+∞）
f′（x）	-		+		-
f（x）	递减		递增		递减

f（x）的极小值=，
所以函数f（x）的极小值=．
点评：本题主要考查利用函数的导数求函数的单调区间，极值，其中含有参数，要对参数进行讨论．