题目内容

已知向量
m
=(sinA，cosA)，
n
=(
3
，-1)，
m
•
n
=1，且A为锐角．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求函数f(x)=
3
cos2x+4cosAsinxcosx(x∈[0，
π
2
])的值域．
分析：（I）由题意可得：
m
•
n
=
3
sinA-cosA=1，即可得到2sin(A-
π
6
)=1，进而得到答案．
（II）由（I）可得：f（x）=2sin(2x+
π
3
)，再结合定义域与正弦函数的性质可得函数的值域．
解答：解：（I）由题意可得：向量
m
=(sinA，cosA)，
n
=(
3
，-1)，
所以
m
•
n
=
3
sinA-cosA=1，
所以2sin(A-
π
6
)=1，即sin(A-
π
6
)=
1
2
，
所以A=
π
3
．
（II）由（I）可得：
f(x)=
3
cos2x+4cos
π
3
sinxcosx
=
3
cos2x+sin2x
=2sin(2x+
π
3
)，
因为x∈[0，
π
2
]，
所以
π
3
≤2x+
π
3
≤
4π
3
，
所以-
3
2
≤sin(2x+
π
3
)≤1，
所以-
3
≤y≤2．
由以上可得函数f（x）的值域为[-
3
，2]．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握向量的数量积运算，以及掌握两角和与差的正弦公式与正弦函数的有关性质．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，若
m
⊥
n
，则sin2θ的值为
 
已知向量
m
=(sinωx，cosωx)，
n
=(cosωx，cosωx)(ω＞0)，设函数f(x)=
m
•
n
且f（x）的最小正周期为π．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）先将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，然后将图象向下平移
1
2
个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间上[0，
3π
4
]上的取值范围．
已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，当θ∈[0，π]时，函数f(θ)=
m
•
n
的值域是
[-1，2]
[-1，2]
．
（2012•上海二模）已知向量
m
=(sin(2x+
π
6
)，sinx)，
n
=（1，sinx），f（x）=
m
•
n
．
（1）求函数y=f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若f（
B
2
）=
2
+1
2
，b=
5
，c=
3
，求a的值．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知向量
m
=(sin 
A
2
，cos 
A
2
)，
n
=(cos 
A
2
，-cos 
A
2
)，且2
m
•
n
+|
m
|=
2
2
，
AB
•
AC
=1．
（1）求角A的大小
（2）求△ABC的面积．

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