题目内容

已知函数f（x）=mx+xlnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l与直线x+2y=1垂直．
（1）求直线l的方程；
（2）若n（2x-1）＜f（x）对任意 $数学公式$ 恒成立，求实数n的取值范围；
（3）当b＞a＞1时，证明（ab^2b）ⁿ＞（ba^2a）^b．

（1）解：求导函数f′（x）=m+lnx+1，
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l与直线x+2y=1垂直．
∴f′（1）=m+1=2，∴m=1
∵f（1）=1，∴直线l的方程为y-1=2（x-1），即y=2x-1；
（2）解：由（1）知，f（x）=x+xlnx，
n（2x-1）＜f（x）对任意 $\text{[math]}$ 恒成立，等价于n＜ $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ 恒成立，
令g（x）= $\text{[math]}$ ，则g′（x）= $\text{[math]}$
令h（x）=2x=lnx-2（ $\text{[math]}$ ），则h′（x）= $\text{[math]}$
∴h（x）在（ $\text{[math]}$ ，+∞）上单调递增
∵h（1）=0
∴当 $\text{[math]}$ 时，h（x）＜0，∴g′（x）＜0，
当x＞1时，h（x）＞0，∴g′（x）＞0，
∴g（x）= $\text{[math]}$ 在（ $\text{[math]}$ ）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增
∴g（x）_min=g（1）=1
∴n＜1，即实数n的取值范围是（-∞，1）
（3）证明：由（2）知，g（x）= $\text{[math]}$ 在（1，+∞）上单调递增
∴当b＞a＞1时， $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$
∴b（2a-1）（1+lnb（＞a（2b-1）（1+lna）
∴2ablnb+alna＞2ablna+blnb+（b-a）
∵b＞a，∴2ablnb+alna＞2ablna+blnb
∴lnb^2ab+lna^a＞lna^2ab+lnb^b∴ln（b^2aba^a）＞ln（a^2abb^b）
∴（ab^2b）ⁿ＞（ba^2a）^b．
分析：（1）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l与直线x+2y=1垂直，求得m的值，从而可求直线l的方程；
（2）n（2x-1）＜f（x）对任意 $\text{[math]}$ 恒成立，等价于n＜ $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ 恒成立，求出右边函数的最小值，即可得到实数n的取值范围；
（3）由（2）知，g（x）= $\text{[math]}$ 在（1，+∞）上单调递增，从而可得当b＞a＞1时， $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，由此可得结论成立．
点评：本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查函数的最值，考查不等式的证明，解题的关键是求导函数，求得函数的单调性与最值．