Question

已知f(x)=,a≠b,
求证：|f(a)-f(b)|＜|a-b|.

Answer 1

证明略

方法一 ∵f(a)=,f(b)= ,
∴原不等式化为|-|＜|a-b|.
∵|-|≥0，|a-b|≥0，
∴要证|-|＜|a-b|成立,
只需证（-）²＜(a-b)².
即证1+a²+1+b²-2＜a²-2ab+b²,
即证2+a²+b²-2＜a²-2ab+b².
只需证2+2ab＜2，
即证1+ab＜.
当1+ab＜0时，∵＞0,
∴不等式1+ab＜成立.
从而原不等式成立.
当1+ab≥0时，要证1+ab＜,
只需证(1+ab)²＜（）²,
即证1+2ab+a²b²＜1+a²+b²+a²b²,即证2ab＜a²+b².
∵a≠b,∴不等式2ab＜a²+b²成立.∴原不等式成立.
方法二 ∵|f（a）-f（b）|=|-|
==，
又∵|a+b|≤|a|+|b|=+＜+，
∴＜1.
∵a≠b,∴|a-b|＞0.∴|f(a)-f(b)|＜|a-b|.