Question

已知（n∈N^*）
（Ⅰ）求f（1），f（2），f（3），f（4）归纳并猜想f（n）
（Ⅱ）用数学归纳证明你的猜想．

Answer 1

解：（I）分别计算f（1）=，
f（2）==1-=，
f（3）=1-=，
f（4）=1-=，
归纳并猜想f（n）=（n∈N^*）；
（II）证明：①当n=1 时，由上面计算知结论正确．
②假设n=k时等式成立，即f（k）=，
则当n=k+1时，f（k+1）=f（k）+=+=，
即n=k+1时等式成立．
由①②知，等式对任意正整数都成立．
分析：（I）分别计算f（1）=，f（2）=1-=，f（3），f（4），归纳并猜想f（n）=；
（II）用数学归纳法证明，①检验n=1时，猜想成立；②假设当n=k时，命题成立，即f（k）=，再证明当n=k+1时，也成立，从而猜想成立．
点评：本题考查根据递推关系求数列的通项公式的方法，考查数学归纳法，证明n=k+1时，是解题的难点．