Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，右焦点为F，且椭圆E上的点到点F的距离的最小值为2．
（1）求a，b的值；
（2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点A的直线l与椭圆E及直线x=8分别相交于点M，N
①当过点A，F，N三点的圆半径最小时，求这个圆的方程；②若cos∠AMB= ，求△ABM的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知， = ，且a﹣c=2，

解得a=4，c=2，

∴b2=a2﹣c2=12，

∴a=4，b=2 ；

（2）①由（1），A（﹣4，0），F（2，0），设N（8，t）．

再设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将点A，F，N的坐标代入，

得 ，解得 ，

∴圆的方程为x2+y2+2x﹣（t+ ）y﹣8=0，

即（x+1）2+[y﹣ （t+ ）]2=9+ （t+ ）2，

∵（t+ ）2≥（2 ）2，当且仅当t+ =±12 时，圆的半径最小，

故所求圆的方程为x2+y2+2x±12 y﹣8=0．

②由对称性不妨设直线l的方程为y=k（x+4）（k＞0）．

由 ，得M（ ， ），

∴ =（ ， ）， =（ ， ），

∴cos∠AMB= = =﹣ ，

化简，得16k4﹣40k2﹣9=0，

解得k2= ，或k2= ，即k= ，或k= ，

此时总有yM=3．

∴△ABM的面积为 ×8×3=12．

【解析】1、本题考查的是由待定系数法求椭圆的方程。
2、（1）由已知条件，A（﹣4，0），F（2，0），设N（8，t）．再设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将点A，F，N的坐标代入得到圆的一般方程
，把圆的方程整理基本不等式的形式求出最小值，当且仅当圆的半径最小，故所求圆的方程为x2+y2+2x±12 2 y﹣8=0. （2）由对称性不妨设直线l的方程为y=k（x+4）（k＞0）可得向量MA和MB的坐标表示，再由cos∠AMB的公式求得k的值，点M到直线的距离为3，所以三角形的面积为12.