Question

8．若cos（α+β）=$\frac{4}{7}$，cos（α-β）=$\frac{6}{7}$，则tanαtanβ=$\frac{1}{5}$．

Answer 1

分析 由两角和与差的余弦公式和整体思想可得cosαcosβ和sinαsinβ的值，再由同角三角函数的基本关系可得tanαtanβ=$\frac{sinαsinβ}{cosαcosβ}$，代值计算可得．

解答 解：∵cos（α+β）=$\frac{4}{7}$，cos（α-β）=$\frac{6}{7}$，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{4}{7}$，
同理可得cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{6}{7}$，
两式联立可得cosαcosβ=$\frac{5}{7}$，sinαsinβ=$\frac{1}{7}$，
∴tanαtanβ=$\frac{sinαsinβ}{cosαcosβ}$=$\frac{1}{5}$，
故答案为：$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系和整体代入的方法，属中档题．