Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+n，记b_n=a_n+n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）证明：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）记cn=

2n+2

2bn+3

，数列{c_n}的前n项和为S_n，求证：Sn＜

n+1

3

．

Answer 1

分析：（I）要证明数列{b_n}是等比数列，只要证明

bn

bn-1

=q≠0即可．利用已知递推关系可转化为证a_n+1+n+2=2（a_n+n+1）即得；
（II）由（I）知，b_n=3•2^n-1．于是cn=

2n+2

2bn+3

=

2n+1+1

3(2n+1)

=

1

3

+

1

3(2n+1)

从而得出c_n＜

1

3

+

1

3×2n

．利用此式对和式S_n=c₁+c₂+…+c_n进行放缩后求和即得．

解答：证明：（Ⅰ）由题设a_n+1=2a_n+n，得a_n+1+n+2=2（a_n+n+1），
即b_n+1=2b_n．                         …4分
又b₁=a₁+1+1=3，所以数列{b_n}是其首项为3，且公比为2等比数列．…6分
（Ⅱ）由（I）知，b_n=3•2^n-1．
于是cn=

2n+2

2bn+3

=

2n+1+1

3(2n+1)

=

1

3

+

1

3(2n+1)

．        …8分
所以c_n＜

1

3

+

1

3×2n

．            …11分
所以S_n=c₁+c₂+…+c_n＜

n

3

+

1

3

(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

)=

n

3

+

1

3

(1-

1

2n

)＜

n+1

3

．…14分．

点评：本题主要考查了等比数列的前n项和、利用定义证明数列为等比数列，考查了数列的递推公式的应用．