Question

（2012•昌平区二模）已知向量 

a

=（cosθ，sinθ），

b

=(-

3

，1)，-

π

2

≤θ≤

π

2

．
（Ⅰ）当 

a

⊥

b

时，求θ的值；
（Ⅱ）求 

a

•

b

的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得

a

•

b

=-

3

cosθ+sinθ=0，求得tanθ=

3

，再由θ的范围求得θ的值．
（Ⅱ）由

a

•

b

=2sin(θ-

π

3

)，根据正弦函数的定义域和值域求得

a

•

b

的范围．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得

a

•

b

=-

3

cosθ+sinθ=0，…（2分）    
求得tanθ=

3

，由 -

π

2

≤θ≤

π

2

，可得 θ=

π

3

． …（6分）
（Ⅱ）由

a

•

b

=-

3

cosθ+sinθ=2sin(θ-

π

3

)…（9分）
∵-

π

2

≤θ≤

π

2

，
∴-

5π

6

≤θ-

π

3

≤

π

6

，…（10分）
∴-1≤sin(θ-

π

3

)≤

1

2

，
∴-2≤2sin(θ-

π

3

)≤1，…（12分）
∴-2≤

a

•

b

≤1，
即

a

•

b

的取值范围 为[-2，1]．…（13分）

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．