Question

如图，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，点A在直线l 上的射影为A₁，点B在l的射影为B₁，已知AB=2，AA₁=1，BB₁=

2

，求：
（Ⅰ） 直线AB分别与平面α，β所成角的大小；
（Ⅱ）二面角A₁-AB-B₁的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 根据面面垂直的性质定理，可知BB₁⊥α．AA₁⊥β，直线AB分别与平面α，β所成角分别为∠BAB₁，∠ABA₁，解相关的三角形即可．
（Ⅱ）在平面α内过A₁作A₁E⊥AB₁交AB₁于E，证出A₁E⊥平面AB₁B，再过E作EF⊥AB交AB于F，连接A₁F，则∠A₁FE 为所求角．解三角形A₁FE即可．

解答：解：（Ⅰ）如图，连接A₁B，AB₁，∵α⊥β，α∩β=l，AA₁⊥l，BB₁⊥l，
∴AA₁⊥β，BB₁⊥α． 则∠BAB₁，∠ABA₁分别是AB与α和β所成的角．
Rt△BB₁A中，BB₁=

2

，AB=2，∴sin∠BAB₁=

BB1

AB

=

2

2

．∴∠BAB₁=45°．
Rt△AA₁B中，AA₁=1，AB=2，sin∠ABA₁=

AA1

AB

=

1

2

，∴∠ABA₁=30°．
故AB与平面α，β所成的角分别是45°，30°．           
（Ⅱ）∵BB₁⊥α，∴平面ABB₁⊥α．在平面α内过A₁作A₁E⊥AB₁交AB₁于E，
则A₁E⊥平面AB₁B．过E作EF⊥AB交AB于F，连接A₁F，则由三垂线定理得A₁F⊥AB，∴∠A₁FE就是所求二面角的平面角．
在Rt△ABB₁中，∠BAB₁=45°，∴AB₁=B₁B=

2

．∴Rt△AA₁B中，A₁B=

AB2-AA12

=

4-1

=

3

． 由AA₁•A₁B=A₁F•AB得 A₁F=

AA1•A1B

AB

=

1× 3

2

=

3

2

，
∴在Rt△A1EF中，sin∠A₁FE=

A1E

A1F

=

6

3

，∴二面角A₁-AB-B₁的余弦值是

3

3

，

点评：本题主要考查空间角的计算，线面垂直，面面垂直的定义，性质、判定，考查了空间想象能力、计算能力，分析解决问题能力．空间问题平面化是解决空间几何体问题最主要的思想方法．