Question

已知单调递增的等比数列{a_n}满足a₁+a₂+a₃=14，且a₂+1是a₁，a₃的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_nlog₂a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）若存在n∈N^*，使得S_n+1﹣2≤8n³λ成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

解析试题分析：
解题思路：（1）设出等比数列的首项与公比，列出关于的方程组，解得即可；（2）由（1）得出，利用错位相减法求和；（3）先进行变量分离，转化为求关于的函数的最值问题.
规律总结：涉及等差数列或等比数列的通项问题，往往列出关于基本量的方程组，进而求出基本量，数列求和的方法主要有：倒序相加法、裂项抵消法、分组求和法、错位相减法.
注意点：存在n∈N^*，使得成立，只需，而不是最大值.
试题解析：（1）设等比数列的公比为q，
∵a₁+a₂+a₃=14，且a₂+1是a₁，a₃的等差中项，
∴，
解得q=2，a₁=2，或q=，a₁=8（舍）
∴a_n=2ⁿ．
（2）b_n=a_nlog₂a_n=n•2ⁿ，
∴，①
2S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，②
①﹣②，得
=，
∴．
（3）由（2）知，
原问题等价于：存在n∈N^*，使得成立，
令f（n）=，只需λ≥f（n）_min即可，
∵f（n+1）﹣f（n）==，
∴f（n+1）﹣f（n）的正负取决于n²﹣2n﹣1=（n﹣1）²﹣2的正负，
∴f（1）＞f（2）＞f（3），f（3）＜f（4）＜…
∴f（n）_min=f（3）=，即，
∴λ的最小值是．.
考点：1.数列的通项公式；2.数列的前项和.