题目内容

已知向量
m
=(2cosx，
3
cosx-sinx)，
n
=(sin(x+
π
6
)，sinx)，且满足f(x)=
m
•
n
．
（I）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（II）设△ABC的内角A满足f（A）=2，且
AB
•
AC
=
3
，求边BC的最小值．
（I）由题意得f(x)=
m
•
n
=2cosxsin(x+
π
6
)+（
3
cosx-sinx）sinx
=2
3
sinxcosx+cos2x-sin2x=
3
sin2x+cos2x
=2sin(2x+
π
6
)，
由2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
（k∈Z）得，kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
，
则所求的单调递增区间是[kπ-
π
3
，kπ+
π
6
]（k∈Z）．
（Ⅱ）由f（A）=2得，2sin(2x+
π
6
)=2，即sin(2x+
π
6
)=1，
∵0＜A＜π，∴
π
6
＜2A+
π
6
＜
13π
6
，即2A+
π
6
=
π
2
，解得A=
π
6
，
由
AB
•
AC
=
3
得，bccosA=
3
，解得bc=2，
在△ABC中，a2=b2+c2-2bccosA
=b2+c2-
3
bc≥2bc-
3
bc=(2-
3
)bc，当且仅当b=c时取等号，
∴amin2=(2-
3
)×2=4-2
3
，即a=
4-2
3
=
3
-1．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
m
=(2cosx，-
3
sin2x)，
n
=（cosx，1），设函数f（x）=
m
•
n
，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）若方程f（x）-k=0在区间[0，
π
2
]上有实数根，求k的取值范围．
已知向量
m
=(2cosx，，2sinx)，
n
=(cosx，，
3
cosx)，函数f(x)=a
m
•
n
+b-a（a、b为常数且x∈R）．
（Ⅰ） 当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（Ⅱ） 是否存在非零整数a、b，使得当x∈[0，
π
2
]时，f（x）的值域为[2，8]．若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由．
（2012•威海一模）已知向量
m
=(2cosx，
3
cosx-sinx)，
n
=(sin(x+
π
6
)，sinx)，且满足f(x)=
m
•
n
．
（I）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（II）设△ABC的内角A满足f（A）=2，且
AB
•
AC
=
3
，求边BC的最小值．
已知向量
m
=(2cosx，1)，向量
n
=(cosx，
3
sin2x)，函数f(x)=
m
•
n
+
2010
1+cot2x
+
2010
1+tan2x
．
（1）化简f（x）的解析式，并求函数的单调递减区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知f（A）=2012，b=1，△ABC的面积为
3
2
，求
1005(a+c)
sinA+sinC
的值．
已知向量
m
=(2cosx，，2sinx)，
n
=(cosx，，
3
cosx)，函数f(x)=a
m
•
n
+b-a（a、b为常数且x∈R）．
（Ⅰ） 当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（Ⅱ） 是否存在非零整数a、b，使得当x∈[0，
π
2
]时，f（x）的值域为[2，8]．若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由．

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