题目内容
（2012•威海一模）已知向量
=(2cosx，
cosx-sinx)，
=(sin(x+
)，sinx)，且满足f(x)=
•
．
（I）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（II）设△ABC的内角A满足f（A）=2，且
•
=
，求边BC的最小值．
| m |
| 3 |
| n |
| π |
| 6 |
| m |
| n |
（I）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（II）设△ABC的内角A满足f（A）=2，且
| AB |
| AC |
| 3 |
分析：（I）根据向量的数量积公式和三角函数恒等变换的公式，化简得函数f（x）=2sin(2x+
)，再由正弦函数的递增区间和整体思想进行求解；
（II）把条件代入（I）得到的解析式化简，再由A的范围和正弦值求出A，再代入2sin(2x+
)化简求出bc的值，结合余弦定理和基本不等式求出a的最小值．
| π |
| 6 |
（II）把条件代入（I）得到的解析式化简，再由A的范围和正弦值求出A，再代入2sin(2x+
| π |
| 6 |
解答：解：（I）由题意得f(x)=
•
=2cosxsin(x+
)+（
cosx-sinx）sinx
=2
sinxcosx+cos2x-sin2x=
sin2x+cos2x
=2sin(2x+
)，
由2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
（k∈Z）得，kπ-
≤x≤kπ+
，
则所求的单调递增区间是[kπ-
，kπ+
]（k∈Z）．
（Ⅱ）由f（A）=2得，2sin(2x+
)=2，即sin(2x+
)=1，
∵0＜A＜π，∴
＜2A+
＜
，即2A+
=
，解得A=
，
由
•
=
得，bccosA=
，解得bc=2，
在△ABC中，a2=b2+c2-2bccosA
=b2+c2-
bc≥2bc-
bc=(2-
)bc，当且仅当b=c时取等号，
∴amin2=(2-
)×2=4-2
，即a=
=
-1．
| m |
| n |
| π |
| 6 |
| 3 |
=2
| 3 |
| 3 |
=2sin(2x+
| π |
| 6 |
由2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
则所求的单调递增区间是[kπ-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
（Ⅱ）由f（A）=2得，2sin(2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
∵0＜A＜π，∴
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 13π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
由
| AB |
| AC |
| 3 |
| 3 |
在△ABC中，a2=b2+c2-2bccosA
=b2+c2-
| 3 |
| 3 |
| 3 |
∴amin2=(2-
| 3 |
| 3 |
4-2
|
| 3 |
点评：本题考查了向量的数量积运算，三角函数恒等变换公式，以及余弦定理和基本不等式的综合应用，掌握正弦函数的基本性质和解析式正确化简，是解好本题的关键．
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