Question

已知向量

m

=(2cosx，-

3

sin2x)，

n

=（cosx，1），设函数f（x）=

m

•

n

，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）若方程f（x）-k=0在区间[0，

π

2

]上有实数根，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式化简函数f（x）的解析式为-2sin（2x-

π

6

）+1，由此求得函数的最小正周期，令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，即可求得
函数的单调递减区间．
（Ⅱ）由题意可得函数y=f（x）的图象和直线y=k 在区间[0，

π

2

]上有交点，由 0≤x≤

π

2

可得函数f（x）的值域，即为 k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=

m

•

n

=2cos²x-

3

sin2x=cos2x-

3

sin2x+1=2sin（

π

6

-2x）+1=-2sin（2x-

π

6

）+1，
∴函数的最小正周期为

2π

2

=π，令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈z，
故函数的减区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z．
（Ⅱ）若方程f（x）-k=0在区间[0，

π

2

]上有实数根，则函数y=f（x）的图象和直线y=k 在区间[0，

π

2

]上有交点．
由 0≤x≤

π

2

 可得-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，∴-1≤-2sin（2x-

π

6

）+1≤2，
即函数f（x）的值域为[-1，2]，
故-1≤k≤2，即k的取值范围为[-1，2]．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，两角和差的正弦公式，正弦函数的单调性、定义域和值域，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题．