Question

（2013•凉山州二模）设实数x＞0，若x+

4

x+1

＞m恒成立，则实数m的取值范围是

（-∞，3）

．

Answer 1

分析：由题意可得x+

4

x+1

的最小值大于m，由x＞0，利用基本不等式可得x+

4

x+1

的最小值为3，从而求得实数m的取值范围．

解答：解：由题意可得x+

4

x+1

的最小值大于m，由x＞0，利用基本不等式可得x+

4

x+1

=（x+1）+

4

x+1

-1≥4-1=3，
当且仅当x+1=

4

x+1

，即x=1时，取等号，故有x+

4

x+1

的最小值为3，∴3＞m，
故实数m的取值范围是 （-∞，3），
故答案为 （-∞，3）．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，基本不等式的应用，属于中档题．