Question

17．设函数f（x）=ax+（x+1）ln（x+1）．
（1）a=0时，求f（x）的单调递减区间；
（2）当a≥-1时，对任意的x≥1，有f（x）≥3成立，求a的取值范围；
（3）讨论函数f（x）正数零点的个数．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可；
（2）求出函数的导数，根据函数的单调性求出f（x）的最小值，求出a的范围即可；
（3）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的正数零点的个数．

解答 解：（1）a=0时，f（x）=（x+1）ln（x+1），
f′（x）=1+ln（x+1），
若f′（x）＜0，则-1＜x＜$\frac{1}{e}$-1，
则f（x）在（-1，$\frac{1}{e}$-1）递减；
（2）f′（x）=a+1+ln（x+1），
x≥1，a≥-1时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在[1，+∞）递增，
则f（x）_min=f（1）≥3，即a+2ln2≥3，
∴a≥3-2ln2；
（3）f′（x）=a+1+ln（x+1），
①a≥-1时，x＞0时，恒有f′（x）＞0，
此时，f（x）在（0，+∞）递增，又f（0）=0，
∴f（x）无正零点，
②a＜-1时，f′（x）=0，解得：x=e^-a-1-1，
故x∈（0，e^-a-1-1）时，f′（x）＜0，f（x）递减，
x∈（e^-a-1-1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，
故f（x）min=f（e^-a-1-1）=-a-e^-a-1＜0，
又f（0）=0，x→+∞时，f（x）→+∞，
故此时，f（x）有且只有1个正零点，
综上，a≥-1时，函数f（x）无正零点，
a＜-1时，函数f（x）有1个正零点．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．