Question

2．设f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}（1-a）$x²-ax+$\frac{1}{3}$（a＞0），当0≤x≤a时，f（x）的值域为[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]，则a=（　　）

• A． 2
• B． 1
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 首先求解导函数，然后利用导函数确定原函数在给定区间上的单调性，结合函数的值域得到关于实数a的方程，解方程即可求得最终结果．

解答 解：所给函数的导函数：f'（x）=x²+（1-a）x-a=（x-a）（x+1），
利用导函数研究原函数的单调性可得函数f（x）在区间[0，a]⊆[-1，a]上单调递减，
结合函数的值域可得：$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=\frac{1}{3}}\\{f（a）=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
结合函数的解析式有：$f（a）=\frac{1}{3}{a}^{3}+\frac{1}{2}（1-a）{a}^{2}-{a}^{2}+\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}$，
整理变形可得：（a-1）（a+2）²=0，
很明显a＞0，据此可得a=1．
故选：B．

点评 本题考查了导函数研究函数的单调性，函数值域的相关问题，转化的思想，方程的思想等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．