题目内容

已知x∈(0，
π
2
)，求函数y=
1
2sinx
+sin2x的最小值以及取最小值时所对应的x值．
分析：因为sin2x=(
sinx
)4，故可利用拆项法将原式写为y=
1
4
2sinx
+
1
4
2sinx
+
1
4
2sinx
+
1
4
2sinx
+sin2x
直接利用基本不等式求最值即可．
解答：解：由x∈(0，
π
2
)
知：y=
1
2sinx
+sin2x
=
1
4
2sinx
+
1
4
2sinx
+
1
4
2sinx
+
1
4
2sinx
+sin2x≥5
5(
1
4
2sinx
)4•sin2x
=
5
4

当且仅当
1
4
2sinx
=sin2x
即sinx=
1
2
时取等号，∴当x=
π
6
时ymin=
5
4
．
点评：本题考查基本不等式的推广形式的应用，求函数的最值问题，集体的关键是利用拆项法凑出积是定值．
练习册系列答案
相关题目
已知x∈(0，2π)， cosx=-
12
，那么x=
 
．
已知x∈(0，
π
2
)时，sinx＜x＜tanx，若p=
3
2
sin
π
18
-
1
2
cos
π
18
、q=
2tan10°
1+tan210°
，r=
3
-tan20°
1+
3
tan20°
，那么p、q、r的大小关系为
p＜q＜r
p＜q＜r
．
已知x∈(0，
π
2
)，且函数f(x)=
1+2sin2x
sin2x
的最小值为b，若函数g(x)=
-1(
π
4
＜x＜
π
2
)
8x2-6bx+4(0＜x≤
π
4
)
则不等式g（x）≤1的解集为（　　）
选修4-5：不等式选讲
已知x∈(0，
π
2
)，试求函数f(x)=3cosx+4
1+sin2x
的最大值．（自编题）

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