Question

如图K43­6所示，在四棱锥P ­ ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．

(1)证明：AD⊥平面PAC；

(2)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．

图K43­6

Answer 1

解：(1)证明：因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，

所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.

又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，

所以PO⊥AD，而AC∩PO＝O，

所以AD⊥平面PAC.

(2)连接DO，取DO的中点N，连接MN，AN.

因为M为PD的中点，所以MN∥PO，

且MN＝PO＝1.

由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，

所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．

在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝，

所以DO＝，从而AN＝DO＝.

在Rt△ANM中，tan∠MAN＝＝＝，

即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.