Question

（1）已知（x+1）⁶（ax-1）²的展开式中含x³的项的系数是20，求a的值．
（2）设（5x-）ⁿ的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M-N=240，求展开式中二项式系数最大的项．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用多项式的乘法法则得到x³系数由三部分组成，利用二项展开式的通项公式求出各项的系数，列出方程求出a的值．
（2）依题意得，M=4ⁿ=（2ⁿ）²，N=2ⁿ，（2ⁿ）²-2ⁿ=240，由此求得n=4，要使二项式系数最大，只有r=2，由此可得展开式中二项式系数最大的项．
解答：解：（1）：（x+1）⁶（ax-1）²的展开式中x³系数是C₆³+C₆²×（-1）×a+C₆¹a²=6a²-15a+20，
∵x³系数为20，∴6a²-15a+20=20，∴a=0，a=．
（2）依题意得，M=4ⁿ=（2ⁿ）²，N=2ⁿ，于是有（2ⁿ）²-2ⁿ=240，（2ⁿ+15）（2ⁿ-16）=0，2ⁿ=16=2⁴，解得n=4．
要使二项式系数最大，只有r=2，故展开式中二项式系数最大的项为 T₃= （5x）²•=150x³．
点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．