题目内容

（1）已知f（x）=x2-1，g（x）=
1-x，x＞0
2-x，x＜0
，求f[g（x）]和g[f（x）]的表达式．
（2）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f（x）=2f（
1
x
）
x
-1，求f（x）的表达式．
分析：（1）因g（x）分段函数，故分x＞0和x＜0两种情况，把对应g（x）代入f（x）求f[g（x）]；当求g[f（x）]时分f（x）＞0和f（x）＜0两种情况，并求出对应的x的范围，再把f（x）代入g（x），最后都用分段函数表示．
（2）由方程的特点令x=
1
x
，代入已知的方程得到另外一个关于f（x）和f（
1
x
）的方程，再把f（
1
x
）原来的方程求出f（x）．
解答：解：（1）当x＞0时，g（x）=x-1，
故f[g（x）]=（x-1）2-1=x2-2x；
当x＜0时，g（x）=2-x，
故f[g（x）]=（2-x）2-1=x2-4x+3；
∴f[g（x）]=
x2-2x，x＞0
x2-4x+3，x＜0
，
当x＞1或x＜-1时，f（x）＞0，
故g[f（x）]=f（x）-1=x2-2；
当-1＜x＜1时，f（x）＜0，
故g[f（x）]=2-f（x）=3-x2．
∴g[f（x）]=
x2-2，x＞1或x＜-1
3-x2，-1＜x＜1

（2）由题意知f（x）=2f（
1
x
）
x
-1，用
1
x
代替x，得f（
1
x
）=2f（x）
1
x
-1，
将f（
1
x
）=
2f(x)
x
-1代入f（x）=2f（
1
x
）
x
-1中，
即f（x）=2×（
2f(x)
x
-1）
x
-1，
求得f（x）=
2
3
x
+
1
3
．
点评：本题考查了求函数的解析式的方法，分别用了代入法和列方程法，对于分段函数要根据自变量的范围代入对应的关系式．
练习册系列答案
相关题目
已知f（x）的定义域为x∈R且x≠1，已知f（x+1）为奇函数，当x＜1时，f（x）=2x2-x+1，那么，当x＞1时，f（x）的递减区间是（　　）
A、[
5
4
，+∞)
B、[1，
5
4
]
C、[
7
4
，+∞)
D、(1，
7
4
]
（1）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求f（x）；
（2）已知f（x）满足2f（x）+f（
1x
）=3x，求f（x）．
给出下列四个命题：
①已知f(x)+2f(
1
x
)=3x，则函数g（x）=f（2x）在（0，1）上有唯一零点；
②对于函数f(x)=x
1
2
的定义域中任意的x1、x2（x1≠x2）必有f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
；
③已知f（x）=|2-x+1-1|，a＜b，f（a）＜f（b），则必有0＜f（b）＜1；
④已知f（x）、g（x）是定义在R上的两个函数，对任意x、y∈R满足关系式f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•g（y），且f（0）=0，但x≠0时f（x）•g（x）≠0．则函数f（x）、g（x）都是奇函数．
其中正确命题的序号是
①③
①③
．
已知函数f（x）=aln（1+ex）-（a+1）x．
（1）已知f（x）满足下面两个条件，求a的取值范围．
①在（-∞，1]上存在极值，
②对于任意的θ∈R，c∈R直线l：xsinθ+2y+c=0都不是函数y=f（x）（x∈（-1，+∞））图象的切线；
（2）若点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））从左到右依次是函数y=f（x）图象上三点，且2x2=x1+x3，当a＞0时，△ABC能否是等腰三角形？若能，求△ABC面积的最大值；若不能，请说明理由．
（1）已知f（x）=2+log4x（1≤x≤16），求函数g（x）=[f（x）]2+f（x2）的值域．
（2）若直线y=4a与y=|ax-2|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，求a的取值范围．

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