Question

(1)已知函数f(x)=x²,g(x)为一次函数，且为增函数，若f［g(x)］=4x²-20x+15,求g(x)的解析式;

(2)已知af(x)+bf()=cx(a、b、c∈R,ab≠0,a²≠b²),求f(x);

(3)f(x)是R上的奇函数，且x∈(-∞,0)时，f(x)=x²+2x,求f(x);

(4)某工厂生产一种机器的固定成本为5 000元，且每生产100部，需要增加投入2 500元，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500部，已知销售收入的函数为H(x)=500x-x²,其中x是产品售出的数量，且0≤x≤500.若x为年产量，y表示利润，求y=f(x)的解析式.

Answer 1

思路分析：已知函数的模型(如一次函数、反比例函数、二次函数等)一般设出函数解析式，由题设确定系数，即待定系数法，如(1)；求抽象函数解析式，可以以变量换变量，然后解方程组求解析式，如(2)，也可根据函数奇偶性确定解析式，如(3)；实际应用问题的函数解析式则要符合实际意义.

解：(1)设g(x)=ax+b(a＞0),a²x²+2abx+b²=4x²-20x+25(a＞0).解得

    ∴g(x)=2x-5.

    (2)由题设af(x)+bf()=cx,用x代换上式中的,则af()+bf(x)=,列方程组解得f(x)=(ax-).

    (3)由于f(x)的定义域是R，且f(x)是奇函数，可得f(0)=0.

    当x＞0时，-x＜0,则f(-x)=(-x)²-2x=x²-2x.

    ∴-f(x)=x²-2x,即f(x)=-x²+2x(x＞0).

    ∴f(x)=

    (4)由题意知，当0≤x≤500时，产品全部售出；当x＞500时，只能售出500部，故利润函数

    y=

    =