Question

已知数列{a_n}是一个递增的等比数列，数列的前n的和为S_n，且a₂=4，S₃=14，
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若c_n=log₂a_n，求数列{

1

cncn+1

}的前n项之和T_n．

Answer 1

分析：（1）设首项为a₁，公比为q，根据等比数列的通项公式和求和公式联立方程求得a₁和为q，进而可得数列的通项公式．
（2）把（1）中求得的a_n代入到c_n中，进而利用裂项法求得数列{

1

cncn+1

}的前n项之和T_n．

解答：解：（1）设首项为a₁，公比为q，
由条件可得

a2=4 a1+a2+a3=14

，
即

a1q=4 a1+a1q+a1q2=14

，
解之得

a1=8 q= 1 2

或

a1=2 q=2

，
又∵数列为递增的，
∴q=2∴a_n=a₁q^n-1=2ⁿ；
（2）∵c_n=log₂a_n=log₂2ⁿ=n，
∴

1

Cn

=

1

n

，
∴

1

cncn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴Tn=

1

c1c2

+

1

c2c3

++

1

cncn+1

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)++(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题主要考查了等比数列的通项公式和数列的求和问题．考查了学生对数列基本知识的掌握