Question

（2011•揭阳一模）已知数列{a_n}是公比q＞1的等比数列，且a₁+a₂=40，a₁a₂=256，又 b_n=log₂a_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若T_n+1-T_n=b_n（n∈N^*），且T₁=0．求证：对?n∈N^*，n≥2有

1

3

≤

n

i=2

1

Ti

＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）解法1：根据a₁+a₂=40，a₁a₂=256，且q＞1，确定数列的a₁、a₂的值，从而可求公比，进而可求数列{a_n}的通项，利用b_n=log₂a_n，可求数列{b_n}的通项公式；
解法2：根据a₁+a₂=40，a₁a₂=256，且q＞1，确定数列的a₁、a₂的值，从而可求公比，进而根据b_n=log₂a_n，可得{b_n}是以3为首项，2为公差的等差数列，即可求数列{b_n}的通项公式；
（2）当n≥2时，T_n-T_n-1=b_n-1=2n-1，根据T_n=（T_n-T_n-1）+（T_n-1-T_n-2）+…（T₃-T₂）+（T₂-T₁）+T₁，可求T_n的值，进而可得

1

Tn

=

1

(n-1)(n+1)

=

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)，由此可证结论．

解答：解：（1）解法1：∵a₁+a₂=40，a₁a₂=256，且q＞1，解得

a1=8 a2=32

---------------（2分）
∴q=

a2

a1

=4，∴an=a1qn-1=8×4n-1=22n+1---------------------------------（4分）
∴b_n=log₂a_n=log222n+1=2n+1--------------------------------------------（6分）
解法2：由a₁+a₂=40，a₁a₂=256，且q＞1得

a1=8 a2=32

，∴q=

a2

a1

=4------------------------------------（2分）
∴bn+1-bn=log2an+1-log2an=log

an+1

an

=log24=2，----------------------------（3分）
又b₁=log₂a₁=log₂8=3，-------------------------------------------------------（4分）
∴{b_n}是以3为首项，2为公差的等差数列，----------------------------------------（5分）
∴b_n=3+（n-1）×2=2n+1；----------------------------------------------------（6分）】
（2）当n≥2时，T_n-T_n-1=b_n-1=2n-1，
∴T_n=（T_n-T_n-1）+（T_n-1-T_n-2）+…（T₃-T₂）+（T₂-T₁）+T₁
=(2n-1)+(2n-3)+…+5+3=

(n-1)(2n-1+3)

2

=（n-1）（n+1）；---------------（8分）
∵当n≥2时，

1

Tn

=

1

(n-1)(n+1)

=

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)，----------------------------（10分）
∴

n

i=2

1

Ti

=

1

T2

+

1

T3

+

1

T4

+…+

1

Tn

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…(

1

n-3

-

1

n-1

)+(

1

n-2

-

1

n

)+(

1

n-1

-

1

n+1

)]
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

)=

3

4

-

1

2

(

1

n

+

1

n+1

)．------（12分）
∵n≥2，∴

1

n

+

1

n+1

≤

1

2

+

1

3

=

5

6

∴

3

4

-

1

2

(

1

n

+

1

n+1

)≥

3

4

-

1

2

•

5

6

=

1

3

．
又

1

n

+

1

n+1

＞0
∴

3

4

-

1

2

(

1

n

+

1

n+1

)＜

3

4

即对?n∈N^*，n≥2，

1

3

≤

n

i=2

1

Ti

＜

3

4

．----------------------------------------------（14分）

点评：本题考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，解题的关键是确定数列的项与公比，利用叠加法与裂项法求和，利用放缩法证明不等式．